Question

В остроугольном треугольнике MNK из точки  D - середины стороны MK - проведены перпендикуляры DA и DB к сторонам MN и NK. Докажите, что если угол ADM=углу BDK то треугольник MNK равнобедренный

Answer 1

∠DAM = ∠DBK = 90°,
∠ADM = ∠BDK по условию,
MD = DK по условию, ⇒
ΔDAM = ΔDBK по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует, что
∠AMD = ∠BKD, т.е. что в ΔMNK равны два угла. А если в треугольнике равны два угла, то он равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Значит, ΔMNK равнобедренный.

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника MNK, необходимо показать, что сторона MN равна стороне NK.

Рассмотрим треугольник ADM. Поскольку D - середина стороны MK, то DM является медианой треугольника MKD, и, следовательно, DM делит сторону MK пополам. Также, угол ADM равен углу BDK по условию задачи.

Теперь рассмотрим треугольник BDK. Так как BD является высотой треугольника BDK, а DM является медианой треугольника MKD, то точка D является центром окружности, описанной около треугольника BDK.

Таким образом, получаем, что точка D является центром описанной окружности треугольника BDK, а значит, угол DKB является прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольник MNK. Так как угол ADM равен углу BDK, а угол DKB является прямым углом, то угол ADM также является прямым углом.

Таким образом, треугольник MNK имеет два прямых угла, что делает его прямоугольным. В прямоугольном треугольнике прямой угол делит основание пополам, следовательно, сторона MN равна стороне NK.

Таким образом, треугольник MNK является равнобедренным, так как сторона MN равна стороне NK.