Question

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности больше радиуса окружности , вписанной в этот шестиугольник ,на 1.Найдите сторону данного шестиугольника.

Answer 1

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника равен длине стороны шестиугольника

a = R

радиус вписанной окружности r = R·cos 30° = 0.5R√3

По условию

R - r = 1

R - 0.5R√3 = 1

R( 1 - 0.5√3) = 1

R = 1/( 1 - 0.5√3)

R = 2/(2 - √3)

Ответ: а = 2/(2 - √3) ≈ 7,46

Answer 2

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен высоте правильного треугольника, из которых этот шестиугольник состоит. 

Формула высоты правильного шестиугольника 

h=(a√3):2

Здесь 

r=(a√3):2

Радиус описанной вокруг правильного шестиугольника окружности равен его стороне. 

R=а - стороне этого шестиугольника ( и стороне правильного треугольника).

Составим уравнение:

R-r=а-(a√3):2

а-(a√3):2=1

2а =а√3=2

а(2- √3)=2

а=2:(2-√3)

а=~7,46 см 

Answer 3

Пусть радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r. Так как вписанная окружность касается всех сторон шестиугольника, то радиус вписанной окружности является радиусом вписанной окружности для любого из треугольников, составляющих шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равносторонний, поэтому сторона шестиугольника равна стороне одного из треугольников.

Радиус описанной окружности связан с радиусом вписанной окружности следующим образом:

R = r + 1

Так как радиус описанной окружности больше радиуса вписанной окружности на 1, мы можем записать уравнение:

R = r + 1

Также известно, что радиус описанной окружности связан с стороной шестиугольника следующим образом:

R = (s/2) / sin(π/6)

Где s - сторона шестиугольника.

Подставим R = r + 1 в уравнение:

r + 1 = (s/2) / sin(π/6)

sin(π/6) = 1/2, поэтому:

r + 1 = s / 2 * (1/2)

Упростим выражение:

2r + 2 = s / 2

Умножим обе части уравнения на 2:

4r + 4 = s

Таким образом, сторона шестиугольника равна 4r + 4.