Question

Как доказать, что хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны?

Answer 1

$AB$ и  $A_1B_1$ - хорды окружности. $OK \perp A_1B_1,\,\,\,\, OL\perp AB$точки K и L - середины хорд  $A_1B_1$ и  $AB$, соответственно.  $AB=A_1B_1$ 

Поскольку K и L - середины хорд, то AL = 0.5*AB и A₁K=0.5*A₁B₁

Отсюда следует, что ΔALO и ΔA₁KO - равны по катету и гипотенузе, значит OL = OM

Answer 2

Доказательство равенства хорд, удаленных от центра окружности на равные расстояния, можно выполнить следующим образом:

Предположим, что у нас есть окружность с центром O и двумя хордами AB и CD, удаленными от центра O на равные расстояния, то есть OA = OC и OB = OD.

1. Проведите радиусы OA и OC, соединяющие центр окружности O с концами хорд AB и CD соответственно.

2. Поскольку OA = OC, радиусы равны. Значит, треугольники OAB и OCD являются равнобедренными треугольниками, так как у них равны две стороны (радиусы) и один угол (угол O).

3. В равнобедренных треугольниках OAB и OCD соответственно равны углы между основанием и боковыми сторонами, то есть ∠OAB = ∠OCD и ∠OBA = ∠ODC.

4. Поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, имеем: ∠OAB + ∠OBA + ∠ABO = 180 градусов и ∠OCD + ∠ODC + ∠DCO = 180 градусов.

5. Подставив равные углы ∠OAB = ∠OCD и ∠OBA = ∠ODC, получим: ∠OAB + ∠OBA + ∠ABO = ∠OCD + ∠ODC + ∠DCO.

6. Сократив равные углы, имеем: ∠ABO = ∠DCO.

7. Так как углы ∠ABO и ∠DCO соответственно являются углами между основанием и боковыми сторонами равнобедренных треугольников, то они также равны.

8. Из равенства ∠ABO = ∠DCO следует, что стороны AB и CD, расположенные противоположно этим углам, также равны.

Таким образом, мы доказали, что хорды AB и CD, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны.