Question

Помогите пожалуйста)) 1. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N - середина стороны CD. Докажите что BN - биссектриса угла ABC. . . .2. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так , что BK: KM = 8 : 5 . Прямая А пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM. . . Буду очень благодарна))

Answer 1

1) CN=CD/2=BC => △BCN - равнобедренный, углы при основании равны, ∠CBN=∠CNB

∠ABN=∠CNB (накрест лежащие при AB||CD)

∠ABN=∠CBN, BN - биссектриса ∠ABC (делит угол на два равных)

2) Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. Обозначим площади ABK=8x, AKM=MKC=5x, ACK=10x. Площади треугольников с равным основанием относятся как их высоты. Высоты треугольников ABK и ACK относятся как 8:10. Следовательно площади BKP и CKP относятся как 8:10. Обозначим площади BKP=8y, BKC=18y. Площади BKC и MKC относятся как 8:5.

S(BKC)/S(MKC) =18y/5x =8/5

S(BKP)/S(AKM) =8y/5x =8/5 * 4/9 =32/45

Или по теореме Менелая:

CP/PB *BK/KM *MA/AC =1 <=> CP/PB *8/5 *1/2 =1 <=> CP/PB=10/8

CM/MA *AK/KP *PB/BC =1 <=> AK/KP *8/18 =1 <=> AK/KP=18/8

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

S(BKP)/S(AKM) =BK*KP/AK*KM =8/5 *8/18 =32/45

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из этих вопросов по очереди:

1. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N - середина стороны CD. Нам нужно доказать, что BN является биссектрисой угла ABC.

Доказательство: Поскольку ABCD - параллелограмм, то AB || CD. Это означает, что углы ABC и BCD являются соответственными углами. Также, так как N - середина стороны CD, то DN = NC.

Теперь рассмотрим треугольник BDN. У него две равные стороны: DN = NC и BD (поскольку это стороны параллелограмма). Также, углы BDN и BND являются соответственными углами, поэтому они равны.

Из равенства DN = NC и равенства углов BDN и BND следует, что треугольник BDN равнобедренный. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что BN является биссектрисой угла B.

Таким образом, доказано, что BN является биссектрисой угла ABC.

2. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 8:5. Прямая А пересекает сторону BC в точке P. Нам нужно найти отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.

Давайте обозначим площади треугольников BKP и AKM как S1 и S2 соответственно.

По условию, BK:KM = 8:5. Это означает, что отношение площадей треугольников BKP и KPM также равно 8:5 (поскольку площадь треугольника пропорциональна длине его основания).

Теперь рассмотрим треугольники ABC и AKM. Так как BM - медиана треугольника ABC, то отношение площадей треугольников AKM и KPM также равно 1:2. Это можно понять, поскольку точка K делит медиану BM в отношении 1:2.

Таким образом, отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM будет равно произведению двух отношений: S1:S2 = (8:5) * (1:2) = 8:10 = 4:5