Question

1)Е-точка пересечения хорд AB и CD. AB=17,CD=18, ED=2CE. Найти АЕ и ВЕ 2)Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок перовй секущей относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.  

Answer 1

Находим длины отрезков ЕD и ЕС:

$CE=\frac{CD}{3}=\frac{18}{3}= 6\\ED=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot18=12$

обозначим АЕ за $x$, тогда $BE=(17-x)$

Пересекающиеся хорды окружности обладают таким свойством:

При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Используя это свойство, составляем уравнение:$x(17-x)=6\cdot12\\\\17x-x^2=72\\\\x^2-17x+72=0\\\\D=(-17)^2-4\cdot1\cdot72=289-288=1\geq0\\\\x_1_,_2=\frac{17\±1}{2}\\\\x_1=9,\ x_2=8$

Оба корня и являются решением, поскольку $9+8=17$

 

Ответ: $AE=9,\ BE=8$

Ну и, как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!... ;)))

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

1. Пусть E - точка пересечения хорд AB и CD. По условию, AB = 17 и CD = 18.

Также дано, что ED = 2CE.

Предположим, что CE = x. Тогда ED = 2x.

Обозначим точку пересечения диагоналей окружности O.

Тогда по теореме о пересекающихся хордах:

AE * BE = CE * DE

(AE + BE) * BE = CE * (CE + ED)

(AE + BE) * BE = CE * (CE + 2CE)

(AE + BE) * BE = CE * 3CE

(AE + BE) * BE = 3CE^2

У нас есть два уравнения:

1. AE + BE = 17 (AB = 17)
2. (AE + BE) * BE = 3CE^2

Мы можем решить систему уравнений, используя данные из условия.

Из уравнения AE + BE = 17 мы можем выразить AE или BE:

AE = 17 - BE

Подставим это значение во второе уравнение:

(17 - BE) * BE = 3CE^2

17BE - BE^2 = 3CE^2

BE^2 - 17BE + 3CE^2 = 0

Теперь, зная, что ED = 2CE, мы можем выразить CE через BE:

CE = ED / 2 = BE / 2

Подставим это значение в уравнение:

BE^2 - 17BE + 3(BE/2)^2 = 0

BE^2 - 17BE + (3/4)BE^2 = 0

Умножим все члены на 4, чтобы избавиться от дроби:

4BE^2 - 68BE + 3BE^2 = 0

7BE^2 - 68BE = 0

BE(7E - 68) = 0

Таким образом, BE = 0 или E = 68/7.

Мы ищем положительное значение BE, поэтому BE = 68/7.

Теперь мы можем найти AE:

AE = 17 - BE = 17 - 68/7 = (119 - 68) / 7 = 51 / 7

Таким образом, AE = 51/7 и BE = 68/7.

2. Пусть P и Q - точки пересечения секущих с окружностью. Пусть A и B - точки касания секущих с окружностью.

Обозначим длины секущих как AP и BP.

Из условия известно, что внешний отрезок первой секущей относится к внутреннему отрезку как 1:8, то есть BP:AP = 1:8.

Пусть BP = x. Тогда AP = 8x.

Также известно, что если из одной точки проведены две секущие к окру