Question

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная около треугольника АВС, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М. Найдите площадь трапеции, если MD=2, радиус окружности 2√3. ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ДАЮ 98 БАЛЛОВ!11! НЕ МОГУ ПОНЯТЬ

Answer 1

O - центр описанной окружности △ABC. Радиус перпендикулярен касательной, OC⊥CD. По условию AC⊥CD, следовательно O∈AC, AC - диаметр, ∠ABC=∠AMC=90 (опираются на диаметр). ∠DAB=180-∠ABC=90 (односторонние углы при AD||BC). ABCM - прямоугольник.

CM=h, AM=BC=a, MD=2

Высота из прямого угла, CM^2=AM*MD

h^2=2a

По теореме Пифагора AM^2+CM^2=AC^2

a^2 +h^2 =48 <=>

a^2 +2a -48 =0 <=>

a=√(1+48)-1 =6 (a>0)

h=√(2*6)=2√3

S=(a+a+2)h/2 =(a+1)h =14√3

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Пусть точка O обозначает центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Так как окружность касается прямой CD, точка M является точкой касания. Также из условия задачи дано, что MD = 2.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD как точку E.

Поскольку диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, получаем, что треугольник ACD является прямоугольным. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ACD:

AC² = AD² + CD²

Так как CD является основанием трапеции, она равна сумме оснований AD и BC:

CD = AD + BC

Так как треугольник ABC является равнобедренным, AD = BC. Поэтому:

CD = AD + AD = 2 * AD

Теперь у нас есть система уравнений:

AC² = AD² + CD² CD = 2 * AD

Заметим, что точка M является точкой касания окружности и основания AD. Тогда можно предположить, что треугольник AMD является прямоугольным.

Из радиуса окружности, который равен 2√3, мы можем выразить длины AM и OM. По определению, радиус окружности является расстоянием от центра окружности до любой точки на окружности.

AM = OM = 2√3

Теперь у нас есть все данные для решения задачи. Мы можем выразить AC через AD, а затем использовать полученные значения для вычисления площади трапеции ABCD.

Подставим значение CD из уравнения CD = 2 * AD в уравнение AC² = AD² + CD²:

AC² = AD² + (2 * AD)² AC² = AD² + 4AD² AC² = 5AD²

Теперь можем выразить AC через AD:

AC = √(5AD²)

Теперь, используя длины оснований AC и BD, и длину высоты (расстояния между параллельными сторонами) h, мы можем выразить площадь трапеции ABCD:

S = (AC + BD) * h / 2

Теперь заменим AC на √(5AD²) и BD на CD:

S = (√(5AD²) + CD) * h / 2

Используем значение CD = 2 * AD и