Question

В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см. Через сторону основания и середину противолежащего  ей  бокового ребра проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Найти площадь сечения и высоту призмы. 

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABN. <NAB=45, <NBA=90=> <BNA=45=>треугольник ABN - прямоугольный и равнобедренный. BN=AB=4. BN=1/2BB1. Значит, BB1=8

По теореме Пифагора AN^2=AB^2*BN^2=16+16=32

AN=4корней из2

аналогично найдём CN=AN

Проведём высоту NH в треугольнике ANC.

ANC - равнобедренный треугольник, значит, NH - медиана и высота.

AH=1/2AC=2

По теореме Пифагора

NH^2=AN^2-AH^2=28

NH=2 корней из 7

S=NH*AH=2 корней из 7*2=4 корней из 7

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим описание.

У нас есть правильная треугольная призма, где сторона основания равна 4 см. Давайте обозначим это основание как треугольник ABC, где сторона AB имеет длину 4 см.

Теперь давайте рассмотрим боковое ребро, противолежащее стороне AB. Обозначим его как CD. Согласно условию, проведена плоскость через сторону AB и середину ребра CD под углом 45° к плоскости основания.

Таким образом, получается плоскость, которая пересекает основание треугольной призмы (треугольник ABC) под углом 45° и проходит через середину ребра CD. Пусть точка пересечения этой плоскости с основанием находится в точке M.

Поскольку основание треугольной призмы является равносторонним, все его стороны равны 4 см. Таким образом, AM = BM = CM = 4/2 = 2 см.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти площадь сечения и высоту призмы.

Площадь сечения можно найти, зная длину стороны AM треугольника AMB (или BM треугольника BMC), так как она является одной из сторон сечения. Площадь сечения будет равна площади треугольника AMB (или BMC).

Высота призмы будет равна расстоянию от точки M до вершины треугольника ABC, обозначим ее как H.

Давайте рассмотрим треугольник AMB. Он является прямоугольным, так как AM = BM и угол AMB равен 90° (угол между плоскостью основания и плоскостью сечения).

Используя теорему Пифагора, можем найти длину стороны MB (или MA):

MB^2 = AM^2 + AB^2 MB^2 = 2^2 + 4^2 MB^2 = 4 + 16 MB^2 = 20 MB = sqrt(20) ≈ 4.47 см

Теперь, зная сторону MB (или MA), можем найти площадь сечения треугольника AMB (или BMC) с помощью формулы для площади треугольника:

Площадь сечения = (MB * AM)