Question

В прямоугольник abcd вписана прямоугольная трапеция abnt, bn биссектриса, bt=tc=6, ab=8, p точка пересечения диагоналей трапеции at и bn, найдите площадь треугольника pnt, an>bt(чтобы у вас чертеж правильней получился). Пожалуйста объясните поподробней!

Answer 1

 Прямоугольник здесь дан как фигура вспомогательная, указывающая на   то, что трапеция АВСD - прямоугольная, т.к. имеет с прямоугольником   общую сторону АВ.
 ВN- биссектриса, углы АВN и ТВN - равны, а ТВN и АNВ - равны как  накрестлежащие, и потому треугольник ВАН- равнобедренный.
 Сторона АN=АВ=8
 S (ABT)=AB*BT:2=6*8:2=24
 В трапеции образованные диагоналями треугольники при боковых  сторонах - равновелики, при основаниях - подобны.
 S (АВР)=S (PTN)
-------
 Рассмотрим треугольник АВТ. Он египетский (отношение катетов 3:4),  значит, AT=10 ( можно проверить по т.Пифагора)
 Высоту ВН найдем из площади треугольника АВТ:
 S (ABT)=BH*AT:2
 ВН= 2 S ABT:AT=48:10=4,8
------
 Рассмотрим треугольники ВРТ и АРN.
 Они подобны по первому признаку подобия - имеют равные вертикальные  углы при Р и равные накрестлежащие углы при секущих ВN и АТ.  Коэффициент подобия равен ВТ:АN= 6:8=3/4
 АТ=ТР+РА= 3+4=7 частей
 1 часть =10/7
 АР=4 части=АТ*4/7
 АР=10:7*4
 S ABP=AP*BH:2= (40/7)*4,8:2=96:7=13 ⁵/₇
В трапеции образованные диагоналями  треугольники при боковых сторонах - равновелики 
S PTN=S ABP=13 ⁵/₇

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать следующий план:

1. Изобразите прямоугольник ABCD и прямоугольную трапецию ABNT согласно условию задачи.
2. Обратите внимание, что вписанная трапеция имеет следующие свойства:
   • Биссектриса угла B разделяет боковую сторону NT на две равные части.
   • Боковые стороны AN и BT параллельны.
3. Постройте биссектрису угла B, пересекающую диагональ AT в точке P.
4. Из условия задачи известно, что BT = TC = 6.
5. Изобразите боковую сторону NT и найдите ее длину. Поскольку BT = TC = 6, то длина стороны NT равна 12.
6. Заметим, что треугольник PNT является прямоугольным, поскольку NP является высотой, опущенной на гипотенузу PT.
7. Найдите длину гипотенузы PT. Из треугольника BTN можно установить, что BN = 8 - 6 = 2. Так как BN является половиной основания трапеции, то основание NT равно 2 * 2 = 4. Значит, PT = NT - NP = 12 - 4 = 8.
8. Найдите площадь треугольника PNT, используя формулу площади треугольника: Площадь = 0.5 * основание * высота. В данном случае, Площадь = 0.5 * PT * NP.
9. Последний шаг - найти NP. Рассмотрите треугольник PBT, в котором известны гипотенуза PT и катет BT. Примените теорему Пифагора для нахождения катета PT: PT^2 = BT^2 - BP^2. Значение BP можно найти, используя соотношение BN = BP + PN.
10. Подставьте найденные значения в формулу площади и рассчитайте площадь треугольника PNT.

Обратите внимание, что без конкретных численных значений длин сторон трудно предоставить точный численный ответ.