Question

Вершины пирамиды заданы координатами: A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4) найти: 1) угол между векторами DB и DC 2) найти площадь паралелограмма, построенного на векторах DA и DB 3) найти обьем пирамиды АВСD Спасибо!

Answer 1

$A(4,4,-10)\; ,\; B(4,10,2)\; ,\; C(2,8,4)\; ,\; D(9,6,4)\\\\1)\; \; \vec{b}=\overline {DB}=(-5,4,-2)\; \; ,\; \; \vec{c}=\overline {DC}=(-7,2,0)\\\\cos\varphi =\frac{\vec{b}\, \cdot \, \vec{c}}{|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|}=\frac{35+8+0}{\sqrt{25+16+4}\cdot \sqrt{49+4+0}}=\frac{43}{\sqrt{45}\cdot \sqrt{53}}=\frac{43}{\sqrt{2385}}=\\\\\varphi =arccos\frac{43}{\sqrt{2385}}\\\\\\2)\; \; \vec{a}=\overline {DA}=(-5,-2,-14)$

$[\vec{a}\times \vec{b}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-5&-2&-14\\-5&4&-2\end{array}\right|=60\vec{i}+60\vec{j}-30\vec{k}\\\\\\\Big |[\vec{a}\times \vec{b}]\Big |=\sqrt{60^2+60^2+30^2}=\sqrt{8100}=90\\\\S=90$

$3)\; \; (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}-5&-2&-14\\-5&4&-2\\-7&2&0\end{array}\right|=-5\cdot 4+2\cdot (-14)-14\cdot 18=-300\\\\\\V=\frac{1}{6}\cdot |-300|=\frac{1}{6}\cdot 300=50$

Answer 2

Для решения задачи вам понадобятся некоторые математические формулы и определения.

1. Угол между векторами DB и DC можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Формула для нахождения угла между векторами a и b: θ = arccos((a · b) / (|a| |b|)) где θ - угол между векторами, а (a · b) - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Сначала найдем векторы DB и DC: DB = B - D = (4, 10, 2) - (9, 6, 4) = (-5, 4, -2) DC = C - D = (2, 8, 4) - (9, 6, 4) = (-7, 2, 0)

Затем найдем длины векторов DB и DC: |DB| = √((-5)^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(25 + 16 + 4) = √45 = 3√5 |DC| = √((-7)^2 + 2^2 + 0^2) = √(49 + 4) = √53

Теперь вычислим скалярное произведение векторов DB и DC: DB · DC = (-5)(-7) + 4(2) + (-2)(0) = 35 - 8 = 27

Используя формулу для нахождения угла между векторами, получаем: θ = arccos((DB · DC) / (|DB| |DC|)) = arccos(27 / (3√5 √53))

2. Площадь параллелограмма, построенного на векторах DA и DB, равна длине их векторного произведения. Формула для нахождения векторного произведения векторов a и b: a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Найдем векторное произведение векторов DA и DB: DA = A - D = (4, 4, -10) - (9, 6, 4) = (-5, -2, -14) DB = B - D = (4, 10, 2) - (9, 6, 4) = (-5, 4, -2)

DA × DB = (-2)(-2) - (-14)(4, -5)(-5) - (-14)(4) = (56, -40, -18)

Теперь найдем длину вектора DA × DB: |DA × DB| = √(56^2 + (-40)^2 + (-18)^2) = √(3136 +