Question

60 баллов. Задание повышенной сложности. Докажите, что если прямая, проведённая из вершины С треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины А, пополам, то она делит сторону АВ в отношении 1 : 2.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник АВС и векторные отношения в нем.

Пусть точка D - середина стороны АВ, а точка E - точка пересечения прямой, проведенной из вершины С, с медианой, проведенной из вершины А. Также обозначим векторы:

→AB - вектор, направленный от вершины А к вершине В, →AC - вектор, направленный от вершины А к вершине С, →AD - вектор, направленный от вершины А к точке D, →AE - вектор, направленный от вершины А к точке E.

Мы знаем, что медиана, проведенная из вершины А, делится точкой D пополам. Это означает, что:

→AD = →DE. (1)

Также мы знаем, что прямая, проведенная из вершины С, делит медиану на две равные части. Это означает, что:

→CE = →ED. (2)

Нам нужно доказать, что прямая, проведенная из вершины С, делит сторону АВ в отношении 1:2. Для этого мы должны показать, что:

→AC = 2→CB. (3)

Для доказательства этого факта мы воспользуемся свойствами векторов.

Заметим, что векторы →AD и →DE равны (по условию (1)). Кроме того, векторы →CE и →ED также равны (по условию (2)). Поэтому мы можем записать следующее равенство:

→AC + →CE = →AD + →DE. (4)

Подставим векторы:

→AC + →CE = →AD + →DE, →AC + →CE = →AD + →AD, →AC + →CE = 2→AD. (5)

Теперь заметим, что вектор →AD равен половине вектора →AB (по свойству медианы). Это можно записать следующим образом:

→AD = 0.5→AB. (6)

Подставим это равенство в уравнение (5):

→AC + →CE = 2(0.5→AB), →AC + →CE = →AB. (7)

Таким образом, мы показали, что →AC + →CE равно →AB. Это означает, что вектор →AC равен вектору →CB, что соответствует требуемому отношению 1:2.

Таким образом, мы доказали, что если прямая, проведенная из вершины С треугольника АВС, делит медиану, провед