Question

Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD=16 см, и ВD=9 см. Докажите, что треугольники АВС и АСD подобны и найдите высоту СD.

Answer 1

Рассмотрим треугольники ABC и ADC - они прямоугольные и имеют один общий угол A, значит они подобные. Рассмотрим треугольники ABC и CDB - они тоже прямоугольные и тоже имеют по одному общему углу B - то есть тоже подобные, а значит и треугольники ADC и CDB - подобные Из подобия треугольников ADC и CDB имеем DB/CD = CD/AD Откуда CD^2=AD*DB = 16*9= 144 CD = 12

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников АВС и АСD воспользуемся условием равенства соответствующих углов.

В треугольнике АВС рассмотрим угол В. Этот угол является прямым, так как треугольник АВС прямоугольный.

В треугольнике АСD рассмотрим угол С. Для доказательства его равенства углу В в треугольнике АВС построим высоту СD. Так как СD - высота, она перпендикулярна к гипотенузе АВ. Следовательно, угол СDА прямой.

Таким образом, углы В в треугольнике АВС и С в треугольнике АСD равны.

Теперь рассмотрим отношения сторон треугольников АВС и АСD.

В треугольнике АВС гипотенуза АВ равна AD + BD = 16 см + 9 см = 25 см.

Следовательно, отношение сторон в треугольнике АВС равно AD : AB = 16 см : 25 см = 16/25.

В треугольнике АСD сторона AD равна 16 см.

Теперь найдем сторону AC треугольника АСD. Для этого вычтем BD из AB: AC = AB - BD = 25 см - 9 см = 16 см.

Таким образом, отношение сторон в треугольнике АСD равно AD : AC = 16 см : 16 см = 1.

Мы получили, что отношение сторон в треугольниках АВС и АСD равно 16/25 : 1 = 16/25.

Так как соотношение сторон и равенство углов совпадают, треугольники АВС и АСD подобны.

Найдем высоту CD треугольника АСD.

Мы знаем, что высота CD разделяет гипотенузу АВ на две части: AD и BD. Из условия задачи мы имеем AD = 16 см и BD = 9 см.

Таким образом, высота CD равна AD + BD = 16 см + 9 см = 25 см.

Таким образом, высота CD треугольника АСD равна 25 см.