Question

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник с доказательством, пожалуйста

Answer 1

Теорема. 

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. 

 

Доказательство. 

Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

Answer 2

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник, гласит, что середины сторон треугольника и точка пересечения биссектрис треугольника лежат на одной окружности, называемой окружностью Эйлера.

Доказательство этой теоремы можно провести следующим образом:

Пусть у нас есть треугольник ABC. Обозначим середины его сторон как M, N и P, а точку пересечения биссектрис как I. Нам нужно показать, что точки M, N, P и I лежат на одной окружности.

Шаг 1: Рассмотрим сторону AB треугольника ABC. Проведем прямую, перпендикулярную к стороне AB, проходящую через точку M (середину стороны AB). Обозначим точку пересечения этой прямой с биссектрисой треугольника ABC как X.

Шаг 2: Рассмотрим сторону AC треугольника ABC. Проведем прямую, перпендикулярную к стороне AC, проходящую через точку N (середину стороны AC). Обозначим точку пересечения этой прямой с биссектрисой треугольника ABC как Y.

Шаг 3: Поскольку точка X лежит на перпендикуляре к стороне AB, а точка Y лежит на перпендикуляре к стороне AC, то мы можем заключить, что прямые XY и BC параллельны друг другу.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник MXN. Поскольку точка M является серединой стороны AB, а точка N является серединой стороны AC, то прямая MN параллельна стороне BC треугольника ABC.

Шаг 5: Из шага 3 следует, что прямая XY параллельна стороне BC, и из шага 4 следует, что прямая MN параллельна стороне BC. Следовательно, прямые XY и MN параллельны друг другу.

Шаг 6: Теперь рассмотрим треугольник MXP. Так как точки X и Y лежат на биссектрисе треугольника ABC, прямая XY является биссектрисой угла MXN. Следовательно, точка P (середина стороны BC треугольника ABC) также лежит на этой биссектрисе.

Шаг 7: Из шага 6 следует,