Question

биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N лежащей на стороне CD докажите что N середина CD

Answer 1

∠АВN = ∠ВNС - (Накрест лежащие углы)
Следовательно ∠NBC = ∠BNC (т.к. BN - биссектриса).
Делаем вывод, что Δ BCN равнобедренный. → ВС = CN.
∠DAN = ∠АND. Δ АND равнобедренный, AD=DN. Т.к. AD=BC, то СN =ND. Точка N есть середина СD.

Answer 2

Для доказательства того, что точка N является серединой стороны CD параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойства биссектрис углов.

1. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке N, а биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке M.

2. Рассмотрим треугольники ANC и BMD. Так как биссектрисы углов A и B пересекаются в точке N, то угол ANC равен углу BND по построению.

3. Угол A и угол B параллелограмма ABCD смежные, поэтому они дополняют друг друга до 180 градусов. Таким образом, угол A + угол B = 180 градусов.

4. Из пункта 3 следует, что угол ANC + угол BND = 180 градусов.

5. Треугольники ANC и BND являются вертикальными (их соответствующие углы равны), поэтому они подобны.

6. Так как треугольники ANC и BND подобны, и их стороны AD и BC параллельны, то соотношение сторон должно быть одинаковым. Из этого следует, что соотношение CN/ND = BM/MD.

7. Так как точки M и N являются точками пересечения биссектрис углов, то они делят сторону CD на две равные части. То есть, CN = ND и BM = MD.

8. Из пункта 7 следует, что точка N является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.

Таким образом, мы доказали, что точка N является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.