Question

докажите что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте проведенной к его основанию

Answer 1

Центром вписаной в трекгольник окружности всегда является пересечение серединных перпендикуляров, проведенных к их сторонам. Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, так же является его медианой, то эта высота также и серединный перпендикуляр, а значит центр впис. окружности лежит именно на ней, что требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть H - основание высоты, проведенной из вершины A, а O - центр вписанной окружности.

Докажем, что точка O лежит на высоте BH.

Шаг 1: Докажем, что точка O лежит на перпендикуляре, проведенном из вершины B к стороне AC.

Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ABC. По определению, центр этой окружности O является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса угла A равна биссектрисе угла C. Обозначим точку пересечения биссектрисы углов A и C как I. Тогда точка O является центром окружности, вписанной в треугольник BCI.

По свойству окружности, любая хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром. Следовательно, отрезок BI является диаметром окружности, вписанной в треугольник BCI. Это означает, что угол BIC равен 90 градусов.

Таким образом, отрезок BO является высотой треугольника BCI, опущенной из вершины B. Следовательно, точка O лежит на перпендикуляре, проведенном из вершины B к стороне AC.

Шаг 2: Докажем, что точка O лежит на высоте BH.

Поскольку точка O лежит на перпендикуляре, проведенном из вершины B к стороне AC, и перпендикуляр пересекает сторону AC в точке H, то точка O также лежит на высоте BH.

Таким образом, мы показали, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведенной к его основанию.