Question

Дан прямоугольник ABCD доказать что |AB+AD|=|AB-AD|​ это вектора

Answer 1

Векторы $\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD}$ - перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0, то есть $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$

Значит

$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})^2}=\sqrt{\overrightarrow{AB}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}^2}=\sqrt{AB^2+AD^2}\\ \\ |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})^2}=\sqrt{\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}^2}=\sqrt{AB^2+AD^2}$

Следовательно, $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$ или это $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам потребуется использовать определение векторов и свойства параллелограмма.

Предположим, что A, B и D - точки в трехмерном пространстве. Рассмотрим векторы AB и AD, которые соединяют точку A с точками B и D соответственно.

Теперь, по определению векторов, разность векторов AB и AD выражается как AB - AD. Это означает, что мы начинаем в точке A, движемся вдоль вектора AB и затем движемся обратно вдоль вектора AD.

Согласно свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делятся пополам. В данном случае, диагонали параллелограмма ABCD - это векторы AB и AD.

Таким образом, вектор AB + AD указывает на середину диагонали AC, а вектор AB - AD указывает на середину диагонали BD.

Следовательно, |AB + AD| представляет длину вектора, направленного от точки A до середины диагонали AC, и |AB - AD| представляет длину вектора, направленного от точки A до середины диагонали BD.

Так как середины диагоналей параллелограмма совпадают, то есть AC и BD имеют общую середину, то их длины также будут равны. То есть, |AB + AD| = |AB - AD|.

Таким образом, мы доказали, что |AB + AD| равно |AB - AD| для данных векторов AB и AD, связанных с прямоугольником ABCD.