Question

Довести теорему про вписаний в коло кут?

Answer 1

Можливі 3 випадки:
1) Центр кола належить стороні кута
2) Точка О належить куту АВС, але не належить сторонам кута АВС
3) Точка О не належить куту АВС і не належить сторонам кута АВС
ДОВОДИМО ВСІ 3 ВИПАДКИ:
1) Кут АОС-центральний, Кут АОС=дузі АС, трикутник АОВ- рівнобедрений, АО=ВО, кут А=куту В=х градусів, кут АОС=2х градусів= дузі АС, отже кут ВАО=куту АВО= 2 дуги АС.
2) Проведемо АВ-діаметр, тоді за першим випадком:
кут АВК= половина дуги АК, кут КВС= половина дуги КС, кут АВС=кут АВК+кут КВС=половина (дуги АК+ дуга КС)= половина дуги АС.
3) Проведемо ВК-діаметр, кут АВК=половина дуги АК, кут СВК=половина дуги СК, дуга АВС=кут АВК-кут СВК= половина (дуги АК-дуга СК)=половина дуги АС. 
НАСЛІДКИ: 1) Вписані кути, що спираються на 1 дугу рівні.
                      2) Кут, що спирається на діаметр=90 градусів (прямий).

Answer 2

Для доказательства теоремы о вписанных углах в окружности нам понадобятся некоторые предварительные утверждения и определения.

Предварительные утверждения:

1. Центральный угол, опирающийся на окружность, равен половине дуги, которую он охватывает.
2. Угол, стоящий на окружности и охватывающий одну и ту же дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Определения:

1. Вписанный угол - это угол, вершина которого находится на окружности, а его стороны проходят через две точки окружности.
2. Вписанный угол, стоящий на дуге - это вписанный угол, вершина которого находится на окружности, а его стороны проходят через начало и конец этой дуги.

Теперь мы готовы приступить к доказательству теоремы.

Теорема: Вписанный угол, стоящий на дуге, равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Доказательство: Пусть у нас есть окружность с центром O, дугой AB и вписанным углом ∠ACB, где C - вершина вписанного угла, а стороны угла проходят через точки A и B на окружности.

1. Рассмотрим центральный угол ∠AOB, опирающийся на ту же дугу AB. Согласно предварительному утверждению 1, центральный угол равен половине дуги AB. Обозначим эту меру угла как α.

2. Возьмем точку D на дуге AB, отличную от точек A, B и C. Тогда по предварительному утверждению 2, угол ∠ADB также равен α.

3. Рассмотрим треугольник AOC, где O - центр окружности, AC - радиус окружности и OC - второй радиус окружности. Треугольник AOC является равнобедренным, так как его две стороны AO и CO равны радиусу окружности. Значит, угол ∠AOC равен углу ∠ACO.

4. Рассмотрим треугольник DOC, где O - центр окружности, DC - радиус окружности и