Question

Докажите, что при любом значении n значение выражения (4n + 1)^2 – (n + 4)^2 делится на 15. Если можно, с объяснением. Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

(4n+1)^2-(n+4)^2=16n^2+8n+1-n^2-8n-16=15n^2-15=15(n^2-1)

Объяснение:

Применяя формулы сокращенного умножения, раскрываем скобки и приводим подобные члены.Используя распределительный закон умножения , выносим общий множитель 15 за скобки.Т.к. одиниз множителей равен 15 , то произведение кратно 15.

Answer 2

Ответ :

16n^2+8n+1-n^2-8n-16=15n^2-15=15(n^2-1) - кратно 15, n^2 - 1

При нечётном n - кратно 8

Answer 3

Для доказательства того, что выражение $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ делится на 15 при любом значении $n$, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая При $n = 1$, выражение принимает значение $(4 \cdot 1 + 1)^2 - (1 + 4)^2 = (5)^2 - (5)^2 = 25 - 25 = 0$, что делится на 15.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого целого числа $k$ выражение $(4k + 1)^2 - (k + 4)^2$ делится на 15.

Шаг 3: Доказательство индукционного перехода Мы должны доказать, что при условии справедливости предположения индукции, выражение также делится на 15 для $n = k + 1$. То есть, мы хотим показать, что $(4(k + 1) + 1)^2 - ((k + 1) + 4)^2$ делится на 15.

Разложим выражение $(4(k + 1) + 1)^2 - ((k + 1) + 4)^2$ для упрощения: $(4(k + 1) + 1)^2 - ((k + 1) + 4)^2 = (4k + 5)^2 - (k + 5)^2$

Теперь, применим предположение индукции: $(4k + 5)^2 - (k + 5)^2$ делится на 15.

Давайте посмотрим на разность квадратов: $(4k + 5)^2 - (k + 5)^2 = (4k + 5 + k + 5)(4k + 5 - (k + 5)) = (5k + 10)(3k) = 15k(k + 2)$

Мы видим, что выражение является произведением двух чисел, а одно из них, $k(k + 2)$, является произведением двух последовательных целых чисел. Поэтому оно всегда делится на 2.

Таким образом, $(4k + 5)^2 - (k + 5)^2$ делится на 15, так как оно является произведением 15 и $k(k + 2)$.

Таким образом, мы доказали, что для любого целого числа $n$ выражение $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ делится на 15.