Question

Помогите, пожалуйста, с задачкой. В школе мы такого не решали, а к экземенам готовиться надо. В треугольнике ABC сторона AB на 14 больше стороны BC. Медиана BE делит треугольник на 2 дтеугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружностей с медианой BE.

Answer 1

Для решения этой задачи разберем взаимоотношения сторон и расстояний до точек касания окружности, вписанной в треугольник. Обойдемся пез чертежа?

Есть треугольник АВС. обозначим стороны, лежащие против соответствующих углов, через а,в,с. Расстояния от соответствующих углов до точек касания вписанной окружности равны (это доказывать не надо?!). Пусть точки касания: на стороне а -> n, на стороне b -> k,  на стороне c -> m. Имеем Аm =Ak, Bm=Bn, Cn=Ck. Тогда полупериметр треугольника АВС можно выразить так: (Am+mB+Ba+aC+Ck+kA)/2 = Am+Bn+Ck. То есть полупериметр (р) равен сумме расстояний от каждого угла до одной точки касания.

    Перенесем полученные знания на нашу задачу. Расстояние между точками касания окружностей с медианой BE равно тЕ-кЕ (где т и к - точки касания на медиане).

В треугольнике ЕВС Ет = р1-ВС (сторона против угла Е).

В треугольнике АВЕ Ек = р2-АВ (сторона против угла Е).

Ет-Ек искомое расстояние равно р1 - ВС - р2 +АВ.

Но р1 = (ЕВ+ВС+ЕС)/2

      р2 = (АВ+ВЕ+АЕ)/2

но АЕ =ЕС, а АВ=ВС+14, то есть р1-р2=7

Ет-Ек = 14-7 = 7.

 Извини за сумбурность.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Пусть сторона BC треугольника ABC равна x. Тогда сторона AB будет равна x + 14, так как она на 14 больше стороны BC.

Мы знаем, что медиана BE делит треугольник на два равных треугольника. Так как BE является медианой, она также является высотой и делит сторону AC пополам. Пусть точка F - середина стороны AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Так как BE является медианой, то BF также будет равно x + 14. Заметим, что треугольник ABE является прямоугольным треугольником, так как медиана пересекает сторону AC в ее середине.

Таким образом, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника и сказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABE, равен половине гипотенузы треугольника ABE. Гипотенуза треугольника ABE равна √((x + 14)^2 + (x/2)^2), по теореме Пифагора.

Аналогично, мы можем рассмотреть треугольник BCE. Так как BE является медианой, то BE равно половине стороны AC, то есть (x + 14)/2. Используя свойство прямоугольного треугольника, радиус окружности, вписанной в треугольник BCE, будет равен половине гипотенузы треугольника BCE. Гипотенуза треугольника BCE равна √(x^2 + ((x + 14)/2)^2), по теореме Пифагора.

Теперь мы можем найти расстояние между точками касания окружностей с медианой BE. Обозначим это расстояние как d.

В треугольнике ABE у нас есть радиус окружности, вписанной в него, равный √((x + 14)^2 + (x/2)^2), а в треугольнике BCE - √(x^2 + ((x + 14)/2)^2).

Мы знаем, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABE и BCE, равна расстоянию между точками касания окружностей с медианой BE, умноженному на 2.

Итак, у нас есть следующее урав