Question

Длина одного катета прямоугольного треугольника на 4 см больше, чем длина другого катета и на 1 см меньше, чем длина гипотенузы. Найти длину гипотенузы

Answer 1

Пусть x - длина одного катета
Тогда (x-4) -- длина другого катета
(x+1) -- длина гипотенузы

По теореме пифагора:
x^2 + (x-4)^2 = (x+1)^2
x^2 + x^2 - 8x + 16 = x^2 + 2x + 1
2x^2 - x^2 - 8x - 2x + 16 - 1 = 0
x^2 - 10x + 15 = 0
D = 100 - 4*15 = 40
x1 = (10+2sqrt(10))/2 = 5 + sqrt(10)
Тогда (6+sqrt(10)) -- длина гипотенузы

x2 = (10-2sqrt(10))/2 = 5 - sqrt(10) - не удовл., так как тогда второй катет будет <0

Ответ: 6 + sqrt(10)

Answer 2

Пусть x - длина одного катета. Тогда длина второго катета будет (x - 4) см, а длина гипотенузы будет (x + 1) см.

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора выполняется следующее соотношение:

катет^2 + катет^2 = гипотенуза^2

x^2 + (x - 4)^2 = (x + 1)^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + x^2 - 8x + 16 = x^2 + 2x + 1

Уберем x^2 с обеих сторон и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 10x + 16 = 2x + 1

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

x^2 - 10x - 2x + 16 - 1 = 0

x^2 - 12x + 15 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

D = (-12)^2 - 4(1)(15) = 144 - 60 = 84

Поскольку дискриминант положительный, у нас будет два корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-12) ± √84) / (2 * 1)

x = (12 ± √84) / 2

x = (12 ± 2√21) / 2

x = 6 ± √21

Таким образом, длина одного катета может быть либо (6 + √21), либо (6 - √21).

Для нахождения длины гипотенузы, подставим значения x в уравнение гипотенузы:

длина гипотенузы = x + 1

При x = (6 + √21):

длина гипотенузы = (6 + √21) + 1 = 7 + √21

При x = (6 - √21):

длина гипотенузы = (6 - √21) + 1 = 7 - √21

Таким образом, длина гипотенузы может быть либо (7 + √21), либо (7 - √21).