Question

Длины всех ребер четырехугольной пирамиды SABCD равны. Периметр основания пирамиды равен 16 см. Точки M, N, P, T, K, F - середины ребер SA, SB, SC, SD, DC и BC соответственно, O точка пересечения AC и BD. Вычислите объем призмы MNPTOFCK.

Answer 1

Длины всех рёбер четырёхугольной пирамиды SABCD равны. Периметр основания пирамиды равен 16 см. Точки M, N, P, T, K, F - середины ребер SA, SB, SC, SD, DC и BC соответственно, O - точка пересечения AC и BD. Вычислите объем призмы MNPTOFCK.

РЕШЕНИЕ:

• SABCD - правильная четырёхугольная пирамида, так как все его рёбра равны. В основании этой пирамиды лежит квадрат со стороной, равной АВ = Р abcd / 4 = 16 / 4 = 4 см.
• MNPTOFCK - наклонная призма, все рёбра которого равны по 2 см. Стороны верхнего основания являются средними линиями боковых граней, стороны нижнего основания равны половине сторон квадрата ABCD. Соответственно, в призме
MNPTOFCK в основаниях лежат квадраты, а боковые грани - ромбы.
• Для того чтобы найти объём призмы, необходимо знать площадь основания и высоту призмы.
• Верхнее основание призмы делит высоту SO данной пирамиды на две равные части, так как в тр. АСS МР - средняя линия. К тому же тр. АСS - равнобедренный, прямоугольный, по тому следствию, что тр. АВС = тр. АСS по трём сторонам. В правильной четырёхугольной пирамиде высота проецирется в центр основания, поэтому АО = ОС = DO = OB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая в гипотенузе, равна её половине, то есть АО = ОС = SO.
• В тр. АВС: по т. Пифагора АС = V( 4^2 + 4^2 ) = 4V2 см ; AO = OC = AC/2 = 4V2 / 2 = 2V2 см ; SН = НO = SO/2 = AO/2 = 2V2 / 2 = V2 см.
• V призмы = S ofck • HO = 2 • 2 • V2 = 4V2 см^3
Также можно заметить, что V sabcd = S abcd • SO / 3 => 3•V sabcd = S abcd • SO
V призмы = S ofck • HO = ( S abcd/4 ) • ( SO/2 ) = S abcd • SO / 8 = 3•V sabcd / 8

ОТВЕТ: 4V2 см^3.

Answer 2

Чтобы вычислить объем призмы MNPTOFCK, нам необходимо знать площадь основания и высоту призмы.

Поскольку все ребра пирамиды равны, периметр основания равен 16 см. Это означает, что каждая сторона основания равна 4 см (16 см / 4 стороны).

Так как M, N, P и T являются серединами сторон основания, то отрезки MN, NP, PT и TM являются половинами сторон основания. Следовательно, их длина равна 2 см (половина длины стороны основания).

Теперь мы можем вычислить площадь основания. Основание пирамиды SABCD - это четырехугольник ABCD. Учитывая, что сторона основания равна 4 см, мы можем разделить этот четырехугольник на два треугольника ABC и CDA.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, зная длины всех сторон треугольника. В данном случае, все стороны треугольника ABC равны 4 см. Поэтому площадь треугольника ABC равна:

S_ABC = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA)),

где s - полупериметр треугольника ABC, AB = BC = CA = 4 см.

s = (AB + BC + CA) / 2 = (4 + 4 + 4) / 2 = 6 см.

S_ABC = sqrt(6 * (6 - 4) * (6 - 4) * (6 - 4)) = sqrt(6 * 2 * 2 * 2) = sqrt(48) = 4 * sqrt(3) см².

Площадь основания равна сумме площадей треугольников ABC и CDA:

S_осн = 2 * S_ABC = 2 * 4 * sqrt(3) = 8 * sqrt(3) см².

Теперь нам нужно вычислить высоту призмы. Высота призмы равна расстоянию от точки O до плоскости ABCD. Так как O является точкой пересечения диагоналей пирамиды, она является центром масс плоскости ABCD. Значит, O находится на одной трети высоты пирамиды, измеренной от вершины S до плоскости ABCD.

Пусть H обозначает высоту пирамиды. Тогда высота призмы равна H / 3.

Тепер