Question

Помогите решить задачу по геометрии. С подробным решение. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1/4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

Answer 1

МА - отрезок касательной,
МС - секущая,
МВ - внешний отрезок секущей.

Пусть МВ = х, тогда
МС = 9/4 · х

По свойству отрезков касательной и секущей:
МА² = МВ · МС
МА² = x · 9/4 · x
MA² = 9x²/4
MA = 3x/2
MC : MA = (9/4 · x) : (3x/2) = 3 : 2 = 1,5

Ответ: секущая больше касательной в 1,5 раза.

Answer 2

Давайте решим данную геометрическую задачу.

Пусть у нас есть окружность с центром O, и из некоторой точки A проведена секущая AB, которая пересекает окружность в точках B и C. Пусть D - точка касания касательной AD с окружностью.

По условию задачи, внешний отрезок AC секущей AB в 2 1/4 раза меньше самой секущей AB. Представим длину AC как x, тогда длина AB будет 2 1/4x.

Также известно, что касательная AD проведена из той же точки A. Нам нужно найти, во сколько раз секущая AB больше касательной AD.

Рассмотрим треугольники AOB и ADC. Они подобны, поскольку имеют два равных угла (по свойству касательной и хорды, опирающейся на одну и ту же дугу окружности) и общий угол между ними (угол BAC).

Теперь мы можем установить пропорцию между сторонами этих треугольников:

AB/AD = OB/CD

Так как AB равно 2 1/4x, а CD равно x, подставим эти значения в пропорцию:

2 1/4x/AD = OB/x

Для удобства выражения, давайте представим 2 1/4 как неправильную дробь:

9/4x/AD = OB/x

Теперь давайте найдем соотношение между AD и OB.

Из свойств геометрической прогрессии известно, что прямоугольник, образованный секущей и ее внешним отрезком, равен квадрату касательной:

AB * AC = AD^2

(2 1/4x) * x = AD^2

9/4x^2 = AD^2

Теперь мы можем подставить это значение обратно в пропорцию:

9/4x/AD = OB/x

9/4x/√(9/4x^2) = OB/x

(9/4x) * (2/3x) = OB/x

(9/2x^2) / (3/1x) = OB

3x * x = OB

3x^2 = OB

Таким образом, мы получили, что OB равно 3x.

Теперь мы можем найти отношение длины секущей AB к длине касательной AD:

AB/AD = 2 1/4x/x = (9/4)x/x = 9/4

Таким образом, сек