Question

Биссектриса угла BAD ( угол BAD=60) параллелограмма ABCD пересекает продолжение прямой CD за точку C в точке N, CN=2. Найдите BD, если AB=4.

Answer 1

1. Т.к. АN биссектриса, то угол NAD=30 градусов и равен углу NAB, который в свою очередь равен углу AND. Так как AND=NAD, то треугольник ADN равнобедренный. в нем AD=DN=DC+CN=4+2=6. Зная две стороны иугол между ними, можно найти третью сторону по формуле из теоремы косинусов
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*Cos60градусов
BD^2=16+36-48*0.5=28
BD=2*(квадратный корень из 7)

Answer 2

Чтобы найти длину отрезка BD, нужно использовать свойства биссектрисы угла.

В данном случае, биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD делит угол BAD на два равных угла. Так как угол BAD = 60 градусов, то каждый из этих углов будет равен 30 градусам.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ACD. Из условия известно, что CN = 2. Так как биссектриса делит угол BAD на два равных угла, то угол CAN равен 30 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник ACN. У нас есть два известных угла: CAN = 30 градусов и ACN = 90 градусов (так как AC и CN являются сторонами прямоугольного треугольника). Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому можно найти третий угол:

ACN + CAN + ANC = 180 градусов 90 + 30 + ANC = 180 120 + ANC = 180 ANC = 180 - 120 ANC = 60 градусов

Теперь мы знаем все углы треугольника ACN и одну его сторону CN. Мы также можем заметить, что треугольник ACN является равнобедренным, так как углы CAN и ANC равны.

Так как у нас есть два равных угла и две равные стороны, мы можем заключить, что треугольник ACN равнобедренный со сторонами AC = CN = 2.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины стороны AN:

AN^2 = AC^2 + CN^2 - 2 * AC * CN * cos(ANC)

AN^2 = 2^2 + 2^2 - 2 * 2 * 2 * cos(60) AN^2 = 4 + 4 - 8 * 0.5 AN^2 = 4 + 4 - 4 AN^2 = 4

AN = 2

Теперь рассмотрим треугольник BDN. Мы знаем, что AN = 2, AB = 4 и угол BAD = 60 градусов. Мы также можем заметить, что угол BDA является дополнительным к углу BAD и равен 120 градусам.

Теперь мы можем снова использовать теорему косинусов, чтобы найти BD:

BD^2 = AN^2 + AB^2 - 2 * AN * AB * cos(BDA