Question

В треугольнике abc ab=bc Внутри треугольника отмечена точка D так что угол dac=dca. Докажите что точка пересечения высот этого треугольника лежит на прямой bd.

Answer 1

АД=СД так как углы прі основаніі треугольніка АДС равны, его высота ДН совпадает с высотой ВН так как оні являются і медіанамі, а Н середіна АС;Так как ВН высота проходіт через д, то точка пересеченія высот явно лежіт на ВД

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся свойством треугольника с равными сторонами. Дано, что AB = BC.

Обозначим точку пересечения высот треугольника ABC через H. Так как высоты перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника, то AH перпендикулярна BC, а BH перпендикулярна AC.

Мы хотим доказать, что точка H лежит на отрезке BD. Поэтому нам нужно доказать, что BH делит отрезок BD пополам.

Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что DA = DC, так как угол DAC = DCA. Кроме того, мы знаем, что AB = BC.

Теперь рассмотрим треугольник BHD. У нас есть две пары равных углов: угол BHD равен углу ADB (по построению) и угол DBH равен углу DAB (по свойству треугольника с равными сторонами).

Теперь мы можем применить к треугольнику BHD теорему о равенстве углов треугольника и заключить, что BH = BD. То есть отрезок BH делит отрезок BD пополам.

Таким образом, точка пересечения высот треугольника ABC лежит на прямой BD, что требовалось доказать.