Question

В равностороннем треугольнике ABC проведены высоты, AP = BR = CQ. Докажите, что треугольник PRQ подобен треугольнику ABC.

Answer 1

В равностороннем треугольнике высоты являются медианами, значит стороны тр-ка PRQ являются средними линиями тр-ка АВС, значит они равны, следовательно тр-ник PRQ - равносторонний. Углы в равносторонних треугольниках равны, значит они подобны.
Доказано.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников PRQ и ABC нам нужно показать, что их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

У нас есть равносторонний треугольник ABC, что означает, что все его углы равны 60 градусов.

Также дано, что AP = BR = CQ, то есть высоты треугольника ABC, проведенные из вершин A, B и C, равны между собой.

Рассмотрим треугольник PRQ. Из условия равностороннего треугольника ABC следует, что углы при вершинах P, R и Q равны 60 градусов каждый, так как это углы, образованные высотами треугольника ABC.

Теперь рассмотрим соответствующие стороны треугольников PRQ и ABC. Поскольку высоты треугольника ABC равны между собой (AP = BR = CQ), мы можем сказать, что отрезки PR, RQ и PQ также равны между собой.

Таким образом, у нас есть два треугольника, у которых все углы равны (60 градусов) и соответствующие стороны равны между собой. Следовательно, треугольник PRQ подобен треугольнику ABC.

Таким образом, мы доказали, что треугольник PRQ подобен треугольнику ABC.