Question

1) В треугольнике ABC высоты AK и BE пересекаются в точке O, угол ACO=46 градусов. Найдите величину угла ABO. 2) В треугольнике MNK медианы MP и NE пересекаются в точке O и равны 12 см и 15 см соответственно. Найдите площадь треугольника MOE, если MP перпендекулярна NE. 3) В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольников AOC и BOC, если AC=8 см , BC=6 см.

Answer 1

2)
Итак у нас две медианы, каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины.
Т.е. Каждую медиану разделили на три части, две части от вершины до точки пересечения и одна от точки пересечения до стороны
МР=12; делим на три, получаем 12:3=4-одна часть, 4*2=8-две части, т.о. МО=8, ОР=4
NE=15; делим на три, получаем 15:3=5 -одна часть, 5*2=10 -две части, т.о. NО=10, ОЕ=5
Теперь треугольник МОЕ, он прямоугольный, с катетами 8 и 5 , площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. 8*5:2=20

Answer 2

1. Для решения этой задачи воспользуемся свойством высот треугольника, согласно которому произведение отрезков, на которые высота делит основание, равно произведению отрезков, на которые она делит другую высоту. Пусть H1 и H2 - высоты, пересекающиеся в точке O, и пусть x - отрезок AO, разделяющий H1 на две части, и y - отрезок BO, разделяющий H2 на две части. Тогда получим следующее уравнение:

AK * KC = BE * EC

x * (AC - x) = y * (BC - y)

Подставим известные значения AC = 8 см и BC = 6 см:

x * (8 - x) = y * (6 - y)

Так как угол ACO = 46 градусов, угол BCO = 90 - 46 = 44 градуса. Также из треугольника ABC следует, что AKC и BEC - прямоугольные треугольники. Обозначим угол ABO через α. Тогда угол EBO будет равен 90 - α.

Воспользуемся свойством высот прямоугольных треугольников, согласно которому катеты прямоугольного треугольника разбиваются отрезками, равными высоте, пропорционально гипотенузе. В треугольнике AKC высота AO разбивает сторону AC на отрезки AK и KC, пропорционально гипотенузе AC. Аналогично, в треугольнике BEC высота BO разбивает сторону BC на отрезки BE и EC, пропорционально гипотенузе BC.

Применим это свойство в треугольниках AKC и BEC:

AO/OB = AK/BE = AC/BC

x/y = 8/6 = 4/3

Теперь решим систему уравнений:

x * (8 - x) = y * (6 - y)

x/y = 4/3

Можно решить данную систему численно или графически. Ответом будет найденное значение угла ABO.

2. Так как MP является медианой треугольника MNK и перпендикулярна NE, то точка O является центром масс треугольника MNK и делит медиану NE в отношении 2:1. Поэтому отрезок NO равен 9 см, а отрезки OE и MO равны по 6 см.

Поскольку треугольник