Question

Точка М лежит во внутренней области треугольника ABC. Докажите, что МА + МВ +МС меньше АВ +ВС +СА.

Answer 1

Надеюсь что все понятно

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC и внутреннюю точку M. Чтобы доказать, что MA + MB + MC меньше AB + BC + CA, мы можем использовать неравенство треугольника.

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c выполняется следующее неравенство:

a + b > c

Мы можем применить это неравенство к треугольникам AMB, BMC и CMA, чтобы получить следующие неравенства:

MA + MB > AB (1) MB + MC > BC (2) MC + MA > CA (3)

Теперь сложим эти неравенства:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MA) > AB + BC + CA

Поскольку сложение двух положительных чисел больше, чем каждое из них по отдельности, мы можем упростить неравенство следующим образом:

2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA

Так как MA + MB + MC является половиной левой части неравенства, мы можем разделить обе части на 2, не меняя неравенства:

MA + MB + MC > (AB + BC + CA) / 2

Таким образом, мы доказали, что MA + MB + MC больше, чем половина суммы сторон треугольника ABC.

Теперь докажем, что MA + MB + MC меньше AB + BC + CA. Мы знаем, что сумма сторон треугольника ABC больше, чем его половина (AB + BC + CA > (AB + BC + CA) / 2). Так как MA + MB + MC является половиной этой суммы, то MA + MB + MC меньше AB + BC + CA.

Таким образом, мы доказали, что для точки M, лежащей во внутренней области треугольника ABC, выполняется неравенство MA + MB + MC меньше AB + BC + CA.