Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1= 7, AB=16, AD=6. Точка K — середина ребра C1D1. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

Answer 1

решение на фотографии.

Answer 2

Для доказательства первого утверждения нам нужно показать, что плоскость, проходящая через точку B и перпендикулярная прямой AK, пересекает отрезок A1K.

Пусть M - середина отрезка A1K. Докажем, что точка M лежит в этой плоскости.

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поскольку AB и AD являются двумя из трех ребер прямоугольного параллелепипеда. Также, AK - медиана треугольника ABC, и медиана пересекает сторону треугольника в точке, деля ее пополам. Таким образом, точка M - середина стороны BC треугольника ABC.

Поскольку точка M является серединой стороны BC, она также лежит на отрезке, соединяющем точки B и C1, поскольку BC1 - продолжение стороны BC. Таким образом, точка M лежит в плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой AK.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через точку B и перпендикулярная прямой AK, пересекает отрезок A1K.

Чтобы найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC, нам понадобится найти их нормальные векторы и использовать формулу для вычисления угла между двумя плоскостями.

Нормальный вектор плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой AK, будет перпендикулярен плоскости ABC и параллелен векторному произведению векторов AB и AK.

AB = (16, 0, 0) (поскольку AB - это сторона параллелепипеда, расположенная на оси x) AK = (8, -8, 3) (половина вектора AC1, где AC1 = AC + C1K, AC = (0, 16, 0), C1K = (8, -8, 3))

Вычислим векторное произведение AB и AK:

AB × AK = (16, 0, 0) × (8, -8, 3) = (0, -48, -128)

Таким образом, нормальный вектор плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой AK,