Question

В Треугольнике АВС угол С больше угла А в 3 раза,сторона АВ больше ВС в 2 раза. Докажите что угол АВС равен 60 градусов. Заранее огромное спасибо!

Answer 1

Такое возможно только в прямоугольном треугольнике.
1)Сторона AB- гипотенуза треугольника ABC, если она равна двум сторонам BC, значит угол, против которого лежит данная сторона, равен 30 градусам.
2)Отсюда и получается, что угол ABC=180-(90+30)=60
(Всё совпадает угол C больше угла A в три раза (90 и 30))
Должно быть так

Answer 2

По теореме синусов х/sinα=2x/sin3α. sin3α=3sinα-4sin³α. Решаем данную пропорцию, получаем уравнение: х*sin3α=2x*sinα, sin3α=2sinα.  3sinα-4sin³α-2sinα=0   sinα-4sin³α=0 sinα(1-4sin²α)=0  sinα=0 (α=0 - не подходит) или 4sin²α=1     sin²α=1/4   sinα=+ -1/2  (берем с плюсом) α=30 градусов. Итак, угол А=30, С=3*30=90, значит В=180-30-90=60 градусов. Доказано.

Answer 3

Давайте докажем, что угол АВС равен 60 градусов, используя информацию, которую мы имеем.

У нас есть несколько фактов о треугольнике АВС:

1. Угол С больше угла А в 3 раза: ∠С = 3∠А.
2. Сторона АВ больше ВС в 2 раза: АВ = 2ВС.

Мы хотим доказать, что ∠АВС = 60 градусов.

Для начала обратимся к теореме синусов для треугольника АВС:

АВ/син(∠С) = ВС/син(∠А) = АС/син(∠В).

Учитывая, что сторона АВ больше ВС в 2 раза, мы можем заменить АВ на 2ВС в уравнении:

2ВС/син(∠С) = ВС/син(∠А) = АС/син(∠В).

Заметим также, что синусы углов могут быть переписаны в виде косинусов:

2ВС/√(1 - cos²(∠С)) = ВС/√(1 - cos²(∠А)) = АС/√(1 - cos²(∠В)).

Теперь рассмотрим отношение 2ВС/√(1 - cos²(∠С)) = ВС/√(1 - cos²(∠А)). Поскольку ВС входит в оба числителя, мы можем исключить его и упростить выражение:

2/√(1 - cos²(∠С)) = 1/√(1 - cos²(∠А)).

Теперь приведем эту дробь к общему знаменателю:

2√(1 - cos²(∠А)) = √(1 - cos²(∠С)).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

4(1 - cos²(∠А)) = 1 - cos²(∠С).

Раскрываем скобки:

4 - 4cos²(∠А) = 1 - cos²(∠С).

Перегруппируем члены:

3 - 4cos²(∠А) = -cos²(∠С).

Теперь заменим ∠С на 3∠А, используя информацию из условия задачи:

3 - 4cos²(∠А) = -cos²(3∠А).

Раскрываем скобки:

3 - 4cos²(∠А) = -cos²(∠А).

Переносим все члены в одну часть уравнения:

0 = 3cos²(∠А) - cos²(∠А) + 4.

Упрощаем:

0 = 2cos²(∠