Question

Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:4, проведена касательная. Определите острый угол между касательной и хордой

Answer 1

Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOBравна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.

Answer 2

Чтобы найти острый угол между касательной и хордой, нам нужно использовать геометрические свойства окружностей.

Поскольку хорда делит окружность в отношении 3:4, предположим, что длина всей хорды равна 7x (где x - некоторая положительная константа). Тогда одна часть хорды будет равна 3x, а другая часть - 4x.

Касательная к окружности, проведенная через конец хорды, будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поскольку хорда и касательная пересекаются в одной точке, у нас образуется прямоугольный треугольник.

Пусть "A" - это центр окружности, "B" - конец хорды, "C" - точка касания касательной с окружностью.

Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти острый угол между касательной и хордой. В данном случае, этот угол будет углом BAC.

Так как BC является радиусом окружности, угол BAC будет равен углу между радиусом и касательной.

В прямоугольном треугольнике ABC у нас есть две известные стороны: 3x (половина хорды) и 4x (другая половина хорды). Мы можем использовать соотношение между катетами и гипотенузой, чтобы найти тангенс угла BAC:

тангенс(BAC) = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = (4x) / (3x) = 4/3.

Чтобы найти острый угол BAC, мы можем использовать обратную функцию тангенса (арктангенс). Обозначим этот угол как θ:

θ = арктангенс(4/3).

Вычислив арктангенс(4/3), мы получим значение этого угла, которое можно выразить в радианах или градусах, в зависимости от требований задачи.