Question

в равнобедренном  треугольнике ABC угол B = 120градусов ,О точка перечесения бесиктрис. окружность радиуса 2 квадратный корень из трех вписана в этот треугольник и косаеться прямых BC и AC в точках D и E соответственно. найти BO и угол BED

Answer 1

Из определения вписанной окр-ти т.О и есть центр вписанной окружности. Рассмотрим треугольник ВОД. Угол ОВД = АВС/2 = 120/2 = 60. Угол ВДО = 90 (т.к. ВС касательная). Тогда угол ВОД = 180-60-90=30. Примем ВД за х. Тогда ВО = 2х (как катет лежащий против угла в 30 градусов). По теореме Пифагора: ВО^2-ВД^2=ОД^2. 4х^2-х^2=(2корень из 3)^2. Отсюда х=2, ВО=2*2=4. 

Угол ДОЕ=180-ВОД=180-30=150. Рассмотрим треугольник ДОЕ: ДО=ОЕ (как радиусы), т.е. это равнобедренный треугольник. тогда угол ВЕД=ОДЕ=(180-ДОЕ)/2=30/2=15. 

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и биссектрисы угла.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то отрезки BD и BE являются биссектрисами углов BCD и BCE соответственно. Биссектриса каждого угла делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных друг другу. Поэтому можно записать следующее:

BD/CD = BE/CE

Также из условия задачи известно, что окружность радиуса 2√3 касается сторон BC и AC в точках D и E соответственно. Из свойств касательных, известно, что точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к соответствующей стороне треугольника. Поэтому можно записать следующее:

CD = 2√3 CE = 2√3

Теперь мы можем записать соотношение для отношения отрезков BD и BE:

BD/2√3 = BE/2√3

Сократим оба члена на 2√3:

BD = BE

Таким образом, отрезки BD и BE равны. Это означает, что точка O является серединой отрезка DE.

Теперь рассмотрим треугольник BOE. Угол BOE является внешним углом треугольника BCD, поэтому он равен сумме внутренних углов BCD и BCE:

∠BOE = ∠BCD + ∠BCE

Угол BCD является половиной угла B, который равен 120 градусов, поэтому:

∠BCD = 120/2 = 60 градусов

Угол BCE также является половиной угла B, поэтому:

∠BCE = 60 градусов

Теперь мы можем вычислить угол BOE:

∠BOE = ∠BCD + ∠BCE = 60 + 60 = 120 градусов

Таким образом, угол BOE равен 120 градусов.

Так как точка O является серединой отрезка DE, угол BED будет равен половине угла BOE:

∠BED = ∠BOE/2 = 120/2 = 60 градусов

Таким образом, угол BED равен 60 градусов, а отрезок BO равен половине длины стороны DE.