Question

Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС и вершиной А, высота АD=6; Катет АС=10. Найти ВD и cos C.

Answer 1

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник  на два, ему подобных.

В одном задана АС (гипотенуза ЭТОГО) треугольника, и высота AD = 6 (один из катетов в ЭТОМ треугольнике). Значит второй катет 8, и вообще, треугольник египетский (6; 8; 10). Это означает, что и АВС, и ABD - тоже египетские треугольники, подобные (3; 4; 5). 

cos(C) = 4/5; 

Треугольник ABD имеет стороны (4,5; 6; 7,5) (подобие и один из катетов 6). 

Значит BD = 4,5;

 

Можно найти и все остальные размеры, по тому же принципу

Пишем (   ;    ;    ), на втором месте ставим известный катет 10 (он должен стоять именно там, малый катет лежит напротив С),

получается (    ; 10;    ), сравниваем с (3; 4; 5) и расставляем числа на пустые места, чтобы сохранить пропорцию 5/2 ( 7,5; 10; 12,5) :)

Конечно, это все игра - но полезная и веселая, и часто помогает быстро найти ответ. Хотя все это можно было бы получить, просто используя полученное значение cos(C) = 4/5, откуда sin(C) = 3/5; tg(C) = 3/4 и так далее...

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

Обозначим длину гипотенузы BC как x.

Используя теорему Пифагора для треугольника ABC, получаем следующее уравнение:

AC^2 + BC^2 = AB^2

Известные значения: AC = 10 (катет АС) AD = 6 (высота АD)

Подставляем известные значения в уравнение:

10^2 + x^2 = AB^2

Раскрываем скобки:

100 + x^2 = AB^2

Так как BD является высотой треугольника ABC, площадь треугольника можно выразить двумя способами:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AC * BD = (1/2) * AB * AD

Подставляем известные значения:

(1/2) * 10 * BD = (1/2) * AB * 6

Упрощаем:

5 * BD = 3 * AB

Теперь у нас есть два уравнения:

100 + x^2 = AB^2 5 * BD = 3 * AB

Далее, воспользуемся тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника ABC.

cos C = AB / BC

Теперь, чтобы решить задачу, мы должны найти значения BD и cos C.

Подставляем 3 * AB вместо BD во второе уравнение:

5 * (3 * AB) = 3 * AB

15 * AB = 3 * AB

12 * AB = 0

AB = 0

Из этого следует, что треугольник ABC вырожденный, так как его основание стало равно 0. В таком случае, мы не можем рассчитать значения BD и cos C, так как треугольник не существует.

Пожалуйста, проверьте введенные данные и условия задачи.