Question

Сторона треугольника АВС пересечена прямой MN || AC . Периметра треуголиников ABC и MBN относятся как 3: 1 . Площадь АВС равна 144 . Чему равна площадь MBN?

Answer 1

Раз MN II AC, треугольник MNB подобен треугольнику АВС. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сторон (в том числе - и их сумм, то есть периметров, само собой, поскольку каждая сторона пропорциональна с одинаковым коэффициентом пропорциональности). Поэтому площадь MNB равна 1/9 ль площади АВС, то есть 144/9 = 16. 

Answer 2

Пусть сторона треугольника АВС равна а, а сторона треугольника МВН равна b.

Так как MN || AC, то по теореме о параллельных прямых имеем следующие соотношения сторон треугольников:

AB/MN = BC/BN = AC/AM

По условию, периметры треугольников ABC и MBN относятся как 3:1. Периметр треугольника ABC равен 3a, а периметр треугольника MBN равен b. Значит, 3a/b = 3/1.

Также известно, что площадь треугольника ABC равна 144. По формуле для площади треугольника S = (1/2) * a * h, где а - основание треугольника, h - высота. Высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC, будет равна h = 2S/AC = 2 * 144 / a = 288 / a.

Теперь можно решить систему уравнений:

AB/MN = BC/BN = AC/AM 3a/b = 3/1 h = 288 / a

Из первого уравнения получаем AC/AM = BC/BN, что эквивалентно AM/AC = BN/BC. Заменяем AM на AC - CM и BN на BC - CN:

(AC - CM) / AC = (BC - CN) / BC AC - CM = AC * (BC - CN) / BC CM = AC - AC * (BC - CN) / BC CM = AC * (1 - (BC - CN) / BC) CM = AC * (1 - BN/BC)

Подставляем найденное значение CM в уравнение AM/AC = BN/BC:

AM/AC = BN/BC AM/AC = BN/BC AM/AC = BN/BC (AC - CM)/AC = BN/BC (1 - BN/BC) = BN/BC 1 - BN/BC = BN/BC 1 = 2 * BN/BC BN = BC/2

Из уравнения 3a/b = 3/1 получаем b = a/3.

Теперь можем найти площадь треугольника MBN по формуле S = (1/2) * b * h:

S = (1/2) * (a/3) * (288/a) = (1/2) * 288/3 = 48

Таким образом, площадь треугольника MBN равна 48.