Question

Докажите,что в прямоугольном треугольнике катет,лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы

Answer 1

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется  отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$sin 30^{0} = \frac{1}{2}$
Таким образом, в любом прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° будет равен половине гипотенузы.
Вот, собственно, и всё доказательство.
Весь вопрос в том, изучали ли вы уже соотношения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике?..

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся геометрическими свойствами треугольника и определением тригонометрических функций.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где ∠B = 90° и ∠A = 30°. Пусть BC - гипотенуза, AC - катет, лежащий против угла в 30 градусов, и AB - катет, лежащий против угла в 90 градусов.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 90° = 60°.

Рассмотрим треугольник BCD, где BD - высота, опущенная из вершины B на гипотенузу AC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то треугольник BCD также является прямоугольным.

Теперь, применим тригонометрическую функцию синуса к треугольнику BCD:

sin(∠C) = BD/BC

Подставим значения ∠C и ∠A:

sin(60°) = BD/BC

√3/2 = BD/BC

BD = √3/2 * BC

Также, рассмотрим треугольник ABD. Угол B равен 90 градусам, поэтому треугольник ABD также является прямоугольным.

Теперь применим тригонометрическую функцию косинуса к треугольнику ABD:

cos(∠A) = AB/BC

Подставим значение ∠A:

cos(30°) = AB/BC

√3/2 = AB/BC

AB = √3/2 * BC

Таким образом, мы получили два выражения для длин катетов треугольника ABC:

AB = √3/2 * BC и BD = √3/2 * BC

Сравнивая эти выражения, мы видим, что AB = BD.

Таким образом, катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы (BC).