Question

В тетраэдре DABC в основании лежит правильный треугольник ABC, O- точка пересечения биссектрис этого треугольника,AD=BD=CD,<DAB=45.Найдите косинус угла DAO 

Answer 1

АВСД-это правильная треугольная пирамида(смотри рисунок). В основании правильный треугольник. Значит точка О является одновременно точкой пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника основания. А поскольку боковые рёбра по условию равны, то они имеют одинаковый наклон к основанию и опущенная из вершины пирамиды высота ДО приходит в эту точку О. Проводим апофему ДК. Получим прямоугольный треугольник АКД, поскольку ДАВ=45 по условию, то и АДК=45, отсюда АК=ДК. В точке пересечения медианы делятся в отношении 2/1 считая от вершины. По теореме Пифагора находим Н, потом ребро ДС и cosДАО=корень из2/корень из 3.