Question

F'(x), если f(x)=lnx*e^x

Answer 1

Для того, чтобы найти производную функции f(x) = lnxex, нужно использовать правило производной сложной функции и правило производной произведения. По правилу производной сложной функции, если g(x) = f(u(x)), то g'(x) = f'(u(x))u'(x). По правилу производной произведения, если h(x) = f(x)g(x), то h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

В данном случае, можно считать, что f(x) = lnxex = f(u(x)), где u(x) = xex. Тогда f'(x) = f'(u(x))u'(x), где f'(u(x)) = 1/u(x) - производная логарифмической функции, а u'(x) - производная произведения x и ex. Для нахождения u'(x), нужно использовать правило производной произведения: u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), где f(x) = x, g(x) = ex, f'(x) = 1, g'(x) = ex. Тогда u'(x) = 1ex + xex = ex(1 + x).

Подставляя полученные значения в формулу f'(x) = f'(u(x))u'(x), получаем:

f'(x) = 1/u(x)u'(x) = 1/xexex(1 + x) = (1 + x)/x

Ответ: F'(x) = (1 + x)/x

Дополнительную информацию о производных логарифмических и экспоненциальных функций можно найти по следующим ссылкам:

- [Производная логарифмической функции](https://socratic.org/questions/let-f-x-xln-x-the-minimum-value-attained-by-f-is) - [Производная экспоненциальной функции](https://socratic.org/questions/what-is-the-derivative-of-f-x-e-x-2lnx) - [Примеры производных сложных функций](https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_210_Calculus_I_%28Professor_Dean%29/Chapter_3%3A_Derivatives/3.9%3A_Derivatives_of_Ln_General_Exponential_and_Log_Functions_and_Logarithmic_Differentiation) - [Видеоурок о производной ln(f(x))](https://www.youtube.com/watch?v=QDLqtCdWqo4)