Question

Реши уравнение: 2x(x−9)^2−x^2(x−9)=0

Answer 1

Чтобы решить уравнение \(2x(x-9)^2 - x^2(x-9) = 0\), давайте приведем его к более простому виду и найдем корни.

1. Раскроем скобки: \[2x(x-9)^2 - x^2(x-9) = 2x(x^2 - 18x + 81) - x^3 + 9x^2 = 2x^3 - 36x^2 + 162x - x^3 + 9x^2 = x^3 - 27x^2 + 171x\]

2. Теперь у нас есть уравнение: \[x^3 - 27x^2 + 171x = 0\]

3. Выносим общий множитель \(x\): \[x(x^2 - 27x + 171) = 0\]

Таким образом, у нас есть два множителя:

- \(x = 0\) - \(x^2 - 27x + 171 = 0\)

Давайте решим второе уравнение с помощью квадратного уравнения или методов факторизации:

\[x^2 - 27x + 171 = 0\]

Дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\[D = (-27)^2 - 4(1)(171) = 729 - 684 = 45\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два вещественных корня. Мы можем использовать формулу квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

\[x_{1,2} = \frac{27 \pm \sqrt{45}}{2}\]

Таким образом, корни второго множителя:

\[x_1 = \frac{27 + \sqrt{45}}{2}\]

\[x_2 = \frac{27 - \sqrt{45}}{2}\]

Итак, у уравнения \(2x(x-9)^2 - x^2(x-9) = 0\) три корня:

\[x = 0\]

\[x = \frac{27 + \sqrt{45}}{2}\]

\[x = \frac{27 - \sqrt{45}}{2}\]