Question

Решить интеграл x*ctg(3x^2)dx, применяя метод подстановки u=3x^2

Answer 1

Для решения данного интеграла мы будем использовать метод подстановки.

Пусть u = 3x^2, тогда du/dx = 6x, или dx = du/(6x).

Теперь мы можем заменить x и dx в исходном интеграле:

∫(x*ctg(3x^2))dx = ∫(u*ctg(u))(du/(6x)).

Далее, мы можем переписать 1/6x в виде 1/6(sqrt(u)/√3) = 1/(6√3)√u. Таким образом, наш интеграл теперь будет иметь вид:

∫((u*ctg(u))/(6√3*√u)) du.

Теперь мы можем разбить наш интеграл на две составляющие: ∫(u*ctg(u)) du и ∫(1/(6√3*√u)) du.

Интеграл ∫(1/(6√3*√u)) du является простым и его значение равно (1/(6√3)) * ∫(1/√u) du.

∫(1/√u) du = 2√u + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Теперь проинтегрируем ∫(u*ctg(u)) du. Для этого мы воспользуемся интегрированием по частям:

∫(u*ctg(u)) du = u*ln|sin(u)| - ∫(ln|sin(u)| du.

Интеграл ∫(ln|sin(u)| du не может быть выражен через элементарные функции, поэтому мы оставляем его в таком виде.

Таким образом, финальное решение интеграла будет иметь вид:

(1/(6√3)) * (2√u + C1 - u*ln|sin(u)| + ∫(ln|sin(u)| du).

Мы можем упростить это решение, но нельзя совсем избавиться от интеграла ∫(ln|sin(u)| du.