Question

Найти наименьший положительный корень уравнения:   cos(5π/2 + 4x) = (√6 - 2√2) / (2√3 - 4)

Answer 1

Давайте разберемся с уравнением \( \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4x\right) = \frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - 4} \) и найдем его наименьший положительный корень.

1. Приведение к стандартному виду: Начнем с упрощения правой части уравнения. Разделим числитель и знаменатель на их общий множитель 2: \[ \frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - 4} = \frac{\sqrt{6}/2 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2} \] Теперь уравнение примет вид: \[ \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 4x\right) = \frac{\sqrt{6}/2 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2} \]

2. Поиск угла: Нам нужно найти угол \( \frac{5\pi}{2} + 4x \), для которого косинус равен выражению справа. Для этого можно использовать арккосинус:

\[ \frac{5\pi}{2} + 4x = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}/2 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2}\right) \]

3. Решение для x: Теперь найдем \( x \): \[ x = \frac{\arccos\left(\frac{\sqrt{6}/2 - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2}\right) - \frac{5\pi}{2}}{4} \]

Это даст нам значения \( x \), которые удовлетворяют уравнению. Обратите внимание, что решения косинуса имеют период \(2\pi\), поэтому при решении уравнений с косинусом всегда возможны различные значения \( x \).

4. Вычисление численного значения: Используйте калькулятор для вычисления численного значения выражения и найдите корень, удовлетворяющий условию \(0 < x < 2\pi\) (или другому нужному диапазону).

Будьте внимательны при вычислениях и использовании арккосинуса, так как результат может быть в диапазоне \([0, \pi]\) или \([0, -\pi]\), в зависимости от выбора знака арккосинуса.