Question

Помогите решить интеграллы 1)S(7-9x-x^3)dx 2)Sdx/x^2 корень из x 3)Sx^8-3x^5+1/x^3 dx 4)S(3e^x+5easx)dx 5)Sdx/корень из 9-4x^2

Answer 1

Конечно, давайте поочередно решим каждый из предложенных интегралов:

1) \(\int (7 - 9x - x^3) \, dx\)

Раскроем скобки и проинтегрируем каждый член по отдельности:

\(\int (7 - 9x - x^3) \, dx = \int 7 \, dx - \int 9x \, dx - \int x^3 \, dx\)

\[= 7x - \frac{9}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C,\]

где \(C\) - константа интеграции.

2) \(\int \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \, dx\)

Этот интеграл может быть решен с помощью замены переменной. Давайте предположим, что \(u = \sqrt{x}\), тогда \(du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx\). Перепишем интеграл с использованием этой замены:

\(\int \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} \, dx = 2 \int \frac{1}{u^4 + u^2} \, du.\)

Теперь подставим \(v = u^2\), получим \(dv = 2u \, du\):

\[2 \int \frac{1}{u^4 + u^2} \, du = \int \frac{1}{v^2 + v} \, dv.\]

Этот интеграл можно разложить на частные дроби:

\(\frac{1}{v^2 + v} = \frac{1}{v(v+1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v+1}.\)

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[= \ln|v| - \ln|v+1| + C.\]

Теперь подставим обратно выражение для \(v\) и \(u\):

\[= \ln|\sqrt{x}| - \ln|\sqrt{x} + 1| + C.\]

3) \(\int (x^8 - 3x^5 + \frac{1}{x^3}) \, dx\)

Проинтегрируем каждый член по отдельности:

\[\int x^8 \, dx - \int 3x^5 \, dx + \int \frac{1}{x^3} \, dx\]

\[= \frac{1}{9}x^9 - \frac{3}{6}x^6 - \frac{1}{2x^2} + C.\]

4) \(\int (3e^x + 5e^{asx}) \, dx\)

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[\int 3e^x \, dx + \int 5e^{asx} \, dx\]

\[= 3e^x + \frac{5}{a}e^{asx} + C.\]

5) \(\int \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}} \, dx\)

Этот интеграл может быть решен с помощью замены переменной. Пусть \(u = 2x/\sqrt{9-4x^2}\), тогда \(du = \frac{2}{\sqrt{9-4x^2}} \, dx\). Подставим это в интеграл:

\[\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du.\]

Теперь проинтегрируем:

\[= \frac{1}{2} \ln|u| + C.\]

Вернемся к переменной \(x\):

\[= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{2x}{\sqrt{9-4x^2}}\right| + C.\]

Это ответ на ваш последний интеграл.