Question

Исследовать функцию f(x)=2x/1-x^2

Answer 1

Для начала, рассмотрим область определения функции f(x). Функция определена только если знаменатель не равен нулю, то есть 1-x^2 ≠ 0. Решим уравнение 1-x^2 = 0:

1 - x^2 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Итак, область определения функции f(x) – это (−∞, –1) ∪ (–1, 1) ∪ (1, +∞).

Теперь проанализируем поведение функции. Для этого найдем точки пересечения графика с осями координат. Если x = 0, то f(0) = 0. Из этого следует, что график функции пересекает ось OX в точке (0, 0).

Также найдем асимптоты функции. Для этого рассмотрим, что происходит с функцией, когда аргумент стремится к бесконечности или к минус бесконечности. Найдем предел функции при x → ±∞:

lim(x→±∞) (2x/ (1 - x^2)) = lim(x→±∞) (2x)/lim(x→±∞) (1 - x^2) = ±∞/-∞

Таким образом, получаем две горизонтальные асимптоты. При x → +∞ график функции стремится к нулю, а при x → -∞ график функции стремится к нулю.

Теперь рассмотрим производную функции f(x) и найдём интервалы возрастания и убывания функции. Для этого возьмем производную и приравняем её к нулю:

f'(x) = (2(1 - x^2) - 2x(-2x))/ (1 - x^2)^2 = (2 - 2x^2 + 4x^2)/ (1 - x^2)^2 = (2 + 2x^2)/ (1 - x^2)^2

Чтобы найти точки экстремума и возрастания/убывания функции, приравняем производную к нулю:

2 + 2x^2 = 0 2x^2 = -2 x^2 = -1 x = ±√(-1)

Мы получили мнимые корни, поэтому функция не имеет экстремумов и интервалов возрастания/убывания.

Таким образом, график функции f(x)=2x/1-x^2 имеет вертикальную асимптоту x=±1 и горизонтальные асимптоты y = 0 при x → ±∞. Также график функции пересекает ось OX в точке (0, 0). Функция не имеет точек экстремума и интервалов возрастания/убывания.