Question

Решите неравенство (x^2+x-45/x-6)<=(3x+1/2)

Answer 1

Давайте решим данное неравенство:

\[\frac{x^2 + x - 45}{x - 6} \leq \frac{3x + 1}{2}\]

1. Начнем с упрощения дробей и приведения к общему знаменателю:

\[\frac{(x + 9)(x - 5)}{x - 6} \leq \frac{3x + 1}{2}\]

2. Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби в правой части:

\[2 \cdot (x + 9)(x - 5) \leq 3x + 1\]

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

\[2x^2 - 2x - 90 \leq 3x + 1\]

4. Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[2x^2 - 5x - 91 \leq 0\]

5. Теперь решим это квадратное неравенство. Можно воспользоваться методом интервалов или построить знаки множителей:

\[ (x - 7)(2x + 13) \leq 0\]

6. Найдем интервалы, где это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки множителей в каждом интервале:

- \(x < -\frac{13}{2}\): оба множителя отрицательны, произведение положительно. - \(-\frac{13}{2} < x < 7\): первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. - \(x > 7\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал \(-\frac{13}{2} < x \leq 7\).