Question

Выполните действия 1/n!-1/n+1!

Answer 1

Давайте рассмотрим выражение \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \).

1. Начнем с раскрытия факториалов: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \] \[ (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

2. Теперь подставим эти значения в выражение: \[ \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - \frac{1}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

3. Общим знаменателем для обеих дробей будет \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n+1) \). Теперь преобразим числитель: \[ \frac{1}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - \frac{1}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{(n+1) - n}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n+1)} \]

4. Упростим числитель: \[ \frac{(n+1) - n}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n+1)} = \frac{1}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n+1)} \]

Таким образом, \(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n+1)}\).