Question

Исследуйте функцию на монотонность: а)у=х^3/3 - 5х^2/2 + 6х - 19;

Answer 1

Для того чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно проанализировать ее производную.

Данная функция имеет вид: у = (х^3)/3 - (5х^2)/2 + 6х - 19.

Найдем производную от этой функции и проанализируем ее знаки для определения монотонности.

Производная от функции у будет равна:

у' = (d(х^3)/dx)/3 - (d(5х^2)/dx)/2 + d(6х)/dx + d(-19)/dx.

Вычислим производную каждого слагаемого отдельно:

(d(х^3)/dx) = 3х^2, (d(5х^2)/dx) = 10х, (d(6х)/dx) = 6, (d(-19)/dx) = 0.

Подставим эти значения в формулу для производной:

у' = (3х^2)/3 - (10х)/2 + 6 + 0, = х^2 - (10х)/2 + 6.

Упростим полученное выражение:

у' = х^2 - 5х + 6.

Теперь проанализируем знаки производной, чтобы определить монотонность функции у.

Для этого найдем корни производной:

х^2 - 5х + 6 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

(х - 2)(х - 3) = 0.

Получаем два корня: х = 2 и х = 3.

Теперь построим таблицу знаков:

---------------------------------------------- x | (-∞, 2) | (2, 3) | (3, +∞) | ---------------------------------------------- у' | + | - | + | ----------------------------------------------

Из таблицы видно, что производная у' меньше нуля на интервале (2, 3), а больше нуля на интервалах (-∞, 2) и (3, +∞).

Когда производная положительна, функция у монотонно возрастает, а когда она отрицательна, функция у монотонно убывает.

Таким образом, для функции у = (х^3)/3 - (5х^2)/2 + 6х - 19 можно сказать, что она монотонно убывает на интервале (2, 3) и монотонно возрастает на интервалах (-∞, 2) и (3, +∞).