Question

при каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2-ax+4a=0 равна 9? Заранее спасибо))

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение \(x^2 - ax + 4a = 0\). Чтобы найти сумму квадратов корней, нам нужно использовать формулу для суммы корней квадратного уравнения.

Уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), и сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

В вашем случае \(a = 1\), \(b = -a\), и \(c = 4a\).

Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) будет равна \(-\frac{b}{a} = -\frac{-a}{1} = a\).

Таким образом, сумма квадратов корней будет равна \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\).

Известно, что \(x_1 + x_2 = a\), а \(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4a}{a} = 4\).

Теперь мы можем подставить значения:

\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = a^2 - 2 \cdot 4 = a^2 - 8\]

Условие задачи гласит, что эта сумма равна 9:

\[a^2 - 8 = 9\]

Теперь решим это уравнение:

\[a^2 = 17\]

\[a = \pm \sqrt{17}\]

Таким образом, при значениях параметра \(a\) равных \(\sqrt{17}\) или \(-\sqrt{17}\), сумма квадратов корней уравнения \(x^2 - ax + 4a = 0\) будет равна 9.