Question

Постройте график функции у=х^2+3х-4|х+2|+2 и определите, при каких значениях м прямая у=м имеет с графиком ровно три общие точки

Answer 1

Давайте рассмотрим функцию \(y = x^2 + 3x - 4|x + 2| + 2\) и определим, при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y = m\) имеет ровно три общие точки с графиком этой функции.

Сначала нарисуем график функции \(y = x^2 + 3x - 4|x + 2| + 2\). Обратите внимание, что модуль \(|x + 2|\) означает, что мы должны рассмотреть два случая: \(x + 2 \geq 0\) и \(x + 2 < 0\).

1. Когда \(x + 2 \geq 0\), то \(|x + 2| = x + 2\), и функция принимает вид: \(y = x^2 + 3x - 4(x + 2) + 2\). 2. Когда \(x + 2 < 0\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\), и функция принимает вид: \(y = x^2 + 3x - 4(-(x + 2)) + 2\).

Теперь построим график функции в этих двух случаях и найдем их общую точку.

Случай 1: \(x + 2 \geq 0\)

\[y_1 = x^2 + 3x - 4(x + 2) + 2\]

Упростим:

\[y_1 = x^2 - x - 10\]

Случай 2: \(x + 2 < 0\)

\[y_2 = x^2 + 3x + 4(x + 2) + 2\]

Упростим:

\[y_2 = x^2 + 7x + 10\]

Теперь найдем общие точки, приравняв \(y_1\) и \(y_2\) к \(m\):

\[x^2 - x - 10 = m\]

\[x^2 + 7x + 10 = m\]

Решим систему уравнений и найдем значения \(x\), при которых у нас есть три общие точки. Затем подставим эти значения \(x\) обратно в исходное уравнение, чтобы получить соответствующие значения \(y\).

Теперь определим при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y = m\) имеет ровно три общие точки с графиком функции.