Question

Помогите пожалуйста решить! С развернутым ответом. 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0

Answer 1

Дано неравенство 9^x - 3^x - 6 > 0. Чтобы решить его, приведем выражение к более удобному виду.

Заметим, что уравнение содержит два слагаемых, которые можно объединить.

Обозначим y = 3^x, тогда уравнение примет вид y^2 - y - 6 > 0.

Теперь решим получившееся квадратное неравенство. Для этого найдем его корни.

y^2 - y - 6 = 0 (y - 3)(y + 2) = 0

Из этого получаем два корня: y = 3 и y = -2.

Теперь составим таблицу знаков функции y^2 - y - 6 на основе найденных корней:

-∞ -2 3 +∞ ---------------------------------- - 0 + -

Видим, что неравенство y^2 - y - 6 > 0 верно на интервалах (-∞, -2) и (3, +∞).

Но мы заменили y на 3^x, поэтому продолжим решение в исходных переменных.

Итак, получили, что неравенство 9^x - 3^x - 6 > 0 верно при 3^x > 0 и 3^x > -2.

Теперь решим эти два неравенства:

1) 3^x > 0 Любое положительное число в любой степени будет положительным, поэтому это неравенство выполняется для любых значений x.

2) 3^x > -2 Это неравенство выполнено для любых значений x, так как любое число, возведенное в любую степень, будет больше -2.

Итак, объединяя все условия, получаем, что неравенство 9^x - 3^x - 6 > 0 выполнено для любых значений x.