Question

Y=cos( +2)  Знайти найменший додатний период функции

Answer 1

Для нахождения наименьшего положительного периода функции \( Y = \cos(2x) \), мы должны рассмотреть функцию косинуса и использовать его свойства.

Функция \( Y = \cos(2x) \) будет иметь период \( T \), если для любого \( x \) выполняется условие:

\[ \cos(2x) = \cos(2x + T) \]

Из свойств косинуса мы знаем, что:

\[ \cos(\theta) = \cos(-\theta) \]

Таким образом, условие для периода функции можно переписать так:

\[ \cos(2x) = \cos(-2x - T) \]

Теперь мы можем использовать свойства косинуса для упрощения этого выражения:

\[ \cos(2x) = \cos(2x + T) \] \[ \cos(2x) = \cos(2x)\cos(T) - \sin(2x)\sin(T) \]

Так как функция \( \cos(2x) \) равна самой себе для всех \( x \), то мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:

\[ \cos(T) = 1 \] \[ \sin(T) = 0 \]

Так как \( \cos(T) = 1 \), то \( T = 2\pi \) (период косинуса). Таким образом, \( Y = \cos(2x) \) имеет период \( 2\pi \).

Если вам нужно минимальное положительное значение периода, то ответ будет \( \pi \). Это потому, что функция \( \cos(2x) \) будет положительной на интервалах \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \), \( \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] \), и так далее, и отрицательной на интервалах \( \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \), \( \left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right] \), и так далее. Таким образом, положительный период функции \( Y = \cos(2x) \) - \( \pi \).