Question

Помогите пожалуйста,решить уравнение)   x^4-3x^3+x^2+3x-2=0 или   Найти рациональные корни уравнения) (2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6=0 Помогите с любым их них пожалуйста))

Answer 1

Решение уравнения 1: x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2 = 0

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться различными методами, такими как факторизация, метод Ньютона или метод подстановки. В данном случае, я расскажу вам о методе подстановки.

1. Вначале мы предположим, что уравнение имеет рациональный корень вида x = p/q, где p и q - целые числа, а q не равно нулю.

2. Подставим это предположение в уравнение и приведем его к виду с общим знаменателем:

(p/q)^4 - 3(p/q)^3 + (p/q)^2 + 3(p/q) - 2 = 0

3. Умножим обе части уравнения на q^4, чтобы избавиться от знаменателя:

p^4 - 3p^3q + p^2q^2 + 3pq^3 - 2q^4 = 0

4. Теперь мы видим, что у нас есть полином с целыми коэффициентами. Мы можем попробовать разложить его на множители или применить другие методы нахождения корней.

5. Путем исследования возможных рациональных корней по методу подстановки или применению алгоритма деления многочленов, мы можем найти, что уравнение имеет один рациональный корень x = 2.

6. Используя синтетическое деление, мы можем разделить исходное уравнение на (x - 2) и получить новое уравнение:

(x - 2)(x^3 - x^2 - 2x + 1) = 0

7. Теперь мы видим, что новое уравнение x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 - это кубическое уравнение, которое можно решить с помощью других методов, например, методом Кардано или методом подстановки.

Решение уравнения 2: (2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6 = 0

Для решения данного уравнения, мы можем применить метод подстановки и последовательно упростить уравнение.

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (4x^4 - 4x^2 + 1) + x(4x^3 - 4x^2 + x) = 4x^4 - 4x^2 + 1 + 4x^4 - 4x^3 + x^2

2. Подставим это в правую часть уравнения и приведем к общему знаменателю:

4x^4 - 4x^2 + 1 + 4x^4 - 4x^3 + x^2 = x^2 + 16x^2 - 6 = 0

3. Теперь мы видим, что у нас есть квадратное уравнение x^2 + 16x^2 - 6 = 0. Мы можем решить его с помощью метода дискриминанта или метода завершения квадрата.

4. Приведем уравнение к виду, где все члены собраны в одну часть:

x^2 + 16x^2 - 6 = 0

5. Сложим все члены уравнения:

17x^2 - 6 = 0

6. Добавим 6 к обеим сторонам уравнения:

17x^2 = 6

7. Разделим обе части уравнения на 17:

x^2 = 6/17

8. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

x = ±√(6/17)

Таким образом, мы получили два рациональных корня для уравнения: x = √(6/17) и x = -√(6/17).