Question

Найти первообразную 1-1\х

Answer 1

Конечно, давайте найдем первообразную функции \( \frac{1}{1-x} \). Для этого воспользуемся методом частичных дробей.

Итак, у нас есть функция: \[ \int \frac{1}{1-x} \,dx \]

Шаг 1: Разложим дробь на частные дроби: \[ \frac{1}{1-x} = \frac{A}{1-x} \]

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю и сложим дроби: \[ 1 = A(1-x) \]

Раскроем скобки: \[ 1 = A - Ax \]

Теперь мы можем выразить A: \[ A = 1 \]

Таким образом, разложение частных дробей будет следующим: \[ \frac{1}{1-x} = \frac{1}{1-x} \]

Теперь мы можем интегрировать каждую из этих частей по отдельности.

\[ \int \frac{1}{1-x} \,dx = \int \frac{1}{1-x} \,dx \]

Первая часть просто дает нам логарифмическую функцию: \[ \int \frac{1}{1-x} \,dx = -\ln|1-x| + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.