Question

Помогите пожалуйста решить уравнения: a) √x-5 * log 3 (x-1)=0 b) lg(x^2+8x+8)-lg(x+2)=0

Answer 1

Конечно, давайте решим уравнения по порядку.

a) \( \sqrt{x-5} \cdot \log_3{(x-1)} = 0 \)

Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Поэтому у нас есть два случая:

1. \( \sqrt{x-5} = 0 \)

Решаем это уравнение:

\[ \begin{align*} \sqrt{x-5} &= 0 \\ x - 5 &= 0 \\ x &= 5 \end{align*} \]

2. \( \log_3{(x-1)} = 0 \)

Логарифм равен нулю только в том случае, если его аргумент равен 1:

\[ \begin{align*} x - 1 &= 1 \\ x &= 2 \end{align*} \]

Таким образом, уравнение \( \sqrt{x-5} \cdot \log_3{(x-1)} = 0 \) имеет два решения: \( x = 5 \) и \( x = 2 \).

b) \( \log_{10}{(x^2+8x+8)} - \log_{10}{(x+2)} = 0 \)

Для решения этого уравнения объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

\[ \begin{align*} \log_{10}{(x^2+8x+8)} - \log_{10}{(x+2)} &= 0 \\ \log_{10}{\frac{x^2+8x+8}{x+2}} &= 0 \end{align*} \]

Логарифм равен нулю только тогда, когда его аргумент равен 1. Поэтому:

\[ \frac{x^2+8x+8}{x+2} = 1 \]

Упростим уравнение:

\[ x^2 + 8x + 8 = x + 2 \]

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение:

\[ (x + 6)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два решения:

1. \( x + 6 = 0 \), следовательно, \( x = -6 \) 2. \( x + 1 = 0 \), следовательно, \( x = -1 \)

Таким образом, уравнение \( \log_{10}{(x^2+8x+8)} - \log_{10}{(x+2)} = 0 \) имеет два решения: \( x = -6 \) и \( x = -1 \).